Question

9．某校高三學(xué)生有兩部分組成，應(yīng)屆生與復(fù)讀生共2000學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)換算為100分的成績(jī)?nèi)鐖D所示，從高三的學(xué)生中，利用分層抽樣，抽取100名學(xué)生的成績(jī)繪制成頻率分布直方圖：
（1）若抽取的學(xué)生中，應(yīng)屆生與復(fù)讀生的比為9﹕1，確定高三應(yīng)屆生與復(fù)讀生的人數(shù)；
（2）計(jì)算此次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；
（3）若抽取的[80，90），[90，100]的學(xué)生中，應(yīng)屆生與復(fù)讀生的比例關(guān)系也是9﹕1，從抽取的[80，90），[90，100]兩段的復(fù)讀生中，選兩人進(jìn)行座談，設(shè)抽取的[80，90）的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與期望值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槌槿〉膽?yīng)屆生與復(fù)讀生的比為9﹕1，求出應(yīng)屆生抽取90人，復(fù)讀生抽取10人，由此能確定確定高三應(yīng)屆生與復(fù)讀生的人數(shù)．
（2）由頻率分布圖中小矩形面積之和為1，得a=0.04，由此能求出此次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．
（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知抽取的復(fù)讀生的人數(shù)分別為2，3人抽取的[80，90）的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，可知ξ=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與期望值．

解答 解：（1）∵抽取的應(yīng)屆生與復(fù)讀生的比為9﹕1，
∴應(yīng)屆生抽取90人，復(fù)讀生抽取10人，
應(yīng)屆生的人數(shù)為90×20=1800，復(fù)讀生的人數(shù)為2000-1800=200．
（2）10×（0.01+a+0.02+0.03）=1，∴a=0.04，
平均分為10×（0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95）=82
（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知，抽取的[80，90），[90，100]的學(xué)生分別為100×0.2=20，100×0.3=30，
抽取的復(fù)讀生的人數(shù)分別為2，3人
抽取的[80，90）的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，可知ξ=0，1，2，
可知$p（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$，
$p（ξ=1）=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}$，
$p（ξ=2）=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
p	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴$E（ξ）=\frac{3}{10}×0+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．