Question

15．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如表數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求銷量y對(duì)單價(jià)x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)大概定為多少元？
附：$\sum_{i=1}^6{x_i}$=51$\sum_{i=1}^6{y_i}$=480$\sum_{i=1}^6{x_i}{y_i}$=4066$\sum_{i=1}^6{x_i^2}$=434.2，$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$是樣本平均值．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算平均數(shù)，利用$\stackrel{∧}$=-20，求出$\stackrel{∧}{a}$，即可求得回歸直線方程；
（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，利用利潤(rùn)=銷售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求工廠獲得的利潤(rùn)最大．

解答 解：（1）由已知可得：
$\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{x_i}=\frac{51}{6}=8.5$，
$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}=434.2$，
$\overline{y}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}=\frac{480}{6}=80$，
$\sum_{i=1}^{6}{x}_{i}{y}_{i}$=4066．
∴$\hat b=\frac{4066-6×8.5}{434.2-6×8.5×8.5}=-\frac{14}{0.7}=-20$
∴$\hat a=80+8.5×20=250$
∴$\hat y=-20x+250$
（2）設(shè)工廠獲得利潤(rùn)為L(zhǎng)
則L=（x-4）（-20x+250）=-20x²+330x-1000，
當(dāng)$x=\frac{330}{40}=8.25$時(shí)，y有最大值，
∴該產(chǎn)品的單價(jià)大概定為8.25元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法的應(yīng)用，考查利用線性回歸方程預(yù)報(bào)變量的值，是一個(gè)新課標(biāo)中出現(xiàn)的新知識(shí)點(diǎn)，本題解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算出線性回歸方程系數(shù)的值，本題是一個(gè)中檔題目．