Question

【題目】已知函數(shù)與（其中）在上的單調(diào)性正好相反，回答下列問題：

（1）對于，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，兩正實數(shù)、滿足，求證：.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因為，所以（），

①當時，，在上為減函數(shù)；

②當時，.

令，得，此時在上為增函數(shù)；

令，得，此時在上為減函數(shù)；

又因為，則，

①當時，，在上為增函數(shù)，由（1）知，可能與單調(diào)性相同；

②當時，，

令，得，此時在上為增函數(shù)；

令，得，此時在上為減函數(shù).

于是若要與在上的單調(diào)性正好相反，

則必須，解得.

∴，. .............................（4分）

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；

函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.

∴在區(qū)間上：

對于函數(shù)有，

又，，

∴.

對于函數(shù)有,

又，，，

∴，

∴，

..............................（6分）

當，即時，不等式恒成立；

當，即時，不等式恒成立需滿足：，

∴.

綜上，所求的范圍為..............................（8分）

（2）易得，

由，得，

∴，

∴，

∴............................（11分）

令，設，則，

可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，

∴...........................（12分）

【命題意圖】本題主要考查不等式恒成立問題的求解，導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，意在考查學生的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的綜合能力．