Question

7．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，E是DP中點．
（1）證明：PB∥平面ACE；
（2）若AP=PB=$\sqrt{2}$，AB=PC=2，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，BD∩AC=F，連接EF，推導(dǎo)出EF∥PB，由此能證明PB∥平面ACE．
（2）取AB的中點Q，連結(jié)PQ、CQ，以Q點為原點，BA所在的直線為x軸，QC所在的直線為y軸，QP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 解：（1）連結(jié)BD，BD∩AC=F，連接EF，
∵四棱錐的底面為菱形，∴F為BD中點，
又∵E是DP中點，∴在BDP中，EF是中位線，∴EF∥PB，
又∵EF⊆平面ACE，而PB?平面ACE，∴PB∥平面ACE．…（6分）
（2）取AB的中點Q，連結(jié)PQ、CQ，
∵菱形ABCD，且∠ABC=60°，∴正△ABC，∴CQ⊥AB，
∵$AP=PB=\sqrt{2}$，AB=PC=2，∴$CQ=\sqrt{3}$，且等腰直角△PAB，即∠APB=90°，PQ⊥AB．
∴AB⊥平面PQC，且PQ=1，∴PQ²+CQ²=CP²，∴PQ⊥CQ．
如圖，以Q點為原點，BA所在的直線為x軸，QC所在的直線為y軸，
QP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則$Q（{0，0，0}），A（{1，0，0}），C（{0，\sqrt{3}，0}），P（{0，0，1}），D（{2，0，0，}）$…（9分）
平面APC上，$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面APC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），則有$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}+{z_1}=0}\\{-\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=\sqrt{3}}\\{{y_1}=1}\\{{z_1}=\sqrt{3}}\end{array}}\right.}\right.$，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），…（11分）
設(shè)平面DPC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
∵$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
則有$\left\{{\begin{array}{l}{2{x_2}=0}\\{-\sqrt{3}{y_2}+{z_2}=0}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），…（13分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{7}•2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-PC-D的余弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（15分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．