Question

8．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），傾斜角為$\frac{π}{4}$且過點M（0，1）的直線l與C相交于A，B兩點，且$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$
（1）求拋物線C的方程；
（2）拋物線C與直線l′相切，求點M到直線l′的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，得直線l的方程為y=x+1，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）拋物線C與直線l′相切，可得切線方程，即可求點M到直線l′的距離的最小值．

解答 解：（1）由題意，得直線l的方程為y=x+1，直線l與C相交于A，B兩點，
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=2py，\;\;}\\{y=x+1，\;\;}\end{array}}\right.$∴x²-2px-2p=0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=2p，\;\;}\\{{x_1}•{x_2}=-2p，\;\;}\end{array}}\right.$
又∵$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AM}=（-{x_1}，\;\;1-{y_1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x_2}，\;\;{y_2}-1）$，
∴-x₁=2x₂，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2p\\{x_1}•{x_2}=-2p\\-{x_1}=2{x_2}\end{array}\right.$
解方程得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{x_2}=-\frac{1}{2}\\ p=\frac{1}{4}\end{array}\right.$
∴拋物線C：${x^2}=\frac{1}{2}y$．…（6分）
（2）∵${x^2}=\frac{1}{2}y$，即y=2x²，∴y'=4x．
設拋物線C上任意一點$N（{x_0}，\;\;2x_0^2）$，$y'\left|{_{x={x_0}}=4{x_0}}\right.$，
則在點$N（{x_0}，\;\;2x_0^2）$處的切線l'的方程為$y-2x_0^2=4{x_0}（x-{x_0}）$，
即l'：$4{x_0}x-y-2x_0^2=0$，
∴點M（0，1）到直線l'的距離為$d=\frac{|-1-2x_0^2|}{{\sqrt{1+16x_0^2}}}=\frac{1+2x_0^2}{{\sqrt{1+16x_0^2}}}（{x_0}∈R）$．
令$t=\sqrt{1+16x_0^2}≥1$，則$x_0^2=\frac{{{t^2}-1}}{16}$，∴$d=\frac{{{t^2}+7}}{8t}=\frac{1}{8}（{t+\frac{7}{t}}）≥\frac{{\sqrt{7}}}{4}$（當且僅當$t=\sqrt{7}$時取等號），
∴當${x_0}=±\frac{{\sqrt{6}}}{4}$時，${d_{min}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．
∴點M到直線l'的距離的最小值為$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查導數(shù)知識的運用，考查基本不等式，屬于中檔題．