Question

18．當|m|≤2時，不等式mx²-2x-m+1＜0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 令f（m）=m（x²-1）-2x+1，由條件f（m）＜0對滿足|m|≤2的一切m的值都成立，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得：f（-2）＜0，f（2）＜0．解出即可．

解答 解：令f（m）=mx²-2x-m+1=m（x²-1）-2x+1，
若對滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，則只需$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$即可，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2（{x}^{2}-1）-2x+1＜0}\\{2（{x}^{2}-1）-2x+1＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
所以實數(shù)x的取值范圍是（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題以不等式為載體，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，屬于基礎題．