Question

8．在數(shù)列{a_n}中，a_n=n（sin$\frac{nπ}{2}$+cos$\frac{nπ}{2}$），前n項(xiàng)和為S_n，則S₁₀₀=0．

Answer 1

分析 通過b_n=sin$\frac{nπ}{2}$+cos$\frac{nπ}{2}$，可知當(dāng)n除以4的余數(shù)分別為1、2、3、0時(shí)b_n的表達(dá)式，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：記b_n=sin$\frac{nπ}{2}$+cos$\frac{nπ}{2}$，則
b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+0=1，}&{n=4k-3}\\{0-1=-1，}&{n=4k-2}\\{-1+0=-1，}&{n=4k-1}\\{0+1=1，}&{n=4k}\end{array}\right.$，
∴S₁₀₀=（a₁+a₅+…+a₉₇）+（a₂+a₆+…+a₉₈）+（a₃+a₇+…+a₉₉）+（a₄+a₈+…+a₁₀₀）
=（1+5+…+97）-（2+6+…+98）-（3+7+…+99）+（4+8+…+100）
=0，
故答案為：0．
注：本題還可以利用a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=0來(lái)計(jì)算．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．