Question

15．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M是AB的中點(diǎn)，BC=CA=CC₁，則C₁M與面BCC₁B₁所成的角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{30}}{6}$

Answer 1

分析 過M作MD⊥BC，垂足為D，則D為BC的中點(diǎn)，DM⊥平面BCC₁B₁．設(shè)BC=CA=CC₁=1，利用勾股定理求出DM，C₁D，C₁M，即可得出答案．

解答 解：過M作MD⊥BC，垂足為D，則D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DM，C₁D，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，DM?平面BCC₁B₁，
∴DM⊥平面BCC₁B₁．
∴∠DC₁M為C₁M與面BCC₁B₁所成的角．
設(shè)BC=CA=CC₁=1，則DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，C₁D=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴C₁M=$\sqrt{D{M}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴sin∠DC₁M=$\frac{DM}{{C}_{1}M}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．