Question

19．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接OD交圓O于點(diǎn)M．
（1）若∠EDO=30°，求∠AOD；
（2）求證：DE•BC=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （1）連接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，從而△AEB∽△ABC，進(jìn)而∠ABE=∠C，進(jìn)而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能證明DE是圓O的切線，利用∠EDO=30°，求∠AOD；
（2）DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$（AC-AB），從而DM•AC+DM•AB=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•（AC+AB）=$\frac{1}{2}$BC²，由此能證明DE•BC=DM•AC+DM•AB．

解答 （1）解：連接BE，OE．
∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，
∴∠ABE=∠C，
∵BE⊥AC，D為BC的中點(diǎn)，∴DE=BD=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是圓O的切線．
∵∠EDO=30°，
∴∠DBE=∠DEB=∠A=60°，
∴∠AOD=120°；
（2）證明：∵O、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$（AC-AB），
∴DM•AC+DM•AB
=DM•（AC+AB）
=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•（AC+AB）
=$\frac{1}{2}$（AC²-AB²）
=$\frac{1}{2}$BC²
=DE•BC．
∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理的合理運(yùn)用．