Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=-x²，若直線y=-x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�

• A． 2k-$\frac{1}{4}$（k∈Z）
• B． 2k+$\frac{1}{4}$（k∈Z）
• C． 2k或2k-$\frac{1}{4}$（k∈Z）
• D． 2k或2k+$\frac{1}{4}$（k∈Z）

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期是2，以及一個(gè)周期上的解析式，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）．
∴函數(shù)的周期是2，
若0≤x≤1，則-1≤-x≤0，
則f（-x）=-x²，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x²=f（x），
即f（x）=-x²，0≤x≤1，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
作出直線y=-x+m，
在一個(gè)周期[-1，1]內(nèi)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)m=0，
當(dāng)直線與y=-x²相切時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
由-x²=-x+m得x²-x+m=0，
由判別式△=0，即1-4m=0，
得m=$\frac{1}{4}$，
∵函數(shù)的周期是2k，
∴m=2k或2k+$\frac{1}{4}$（k∈Z），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．