Question

7．函數(shù)f（x）=2（a+sin2x）cosbx-sincx，x∈[0，π]
（1）若a=c=0，b=2求滿足f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$所有x值的集合；
（2）若a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=3，求f（x）最大值和最小值；
（3）在（2）的條件下，分別將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求不等式g（x）＜$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)得出f（x）=sin4x，利用特殊三角函數(shù)值，終邊相同的角求解．
（2）利用兩角和差公式得出f（x）=sinx+$\sqrt{3}$，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求解．
（3）利用函數(shù)圖象變換得出函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x$+\sqrt{3}$，解不等式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2（a+sin2x）cosbx-sincx，x∈[0，π]．
∴a=c=0，b=2，
∴f（x）=sin4x，
∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin4x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
4x=2kπ$+\frac{π}{3}$，或4x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，∈Z
即x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，或x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{6}$，k∈Z
所有x值的集合：{x|x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，或x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{6}$，k∈Z}
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=3，
∴f（x）=sinx+$\sqrt{3}$，
∵-1≤sinx≤1，
∴$\sqrt{3}-1$≤f（x）≤$\sqrt{3}+1$
∴f（x）最大值為$\sqrt{3}+1$，最小值為：$\sqrt{3}-1$，
（3）f（x）=sinx+$\sqrt{3}$，的圖象上所有點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，
得到函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x$+\sqrt{3}$，
等式g（x）＜$\frac{1}{2}$，
sin2x＜1-2$\sqrt{3}$，無解，
∴解集為∅

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩角和差的公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．