Question

3．在體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，則CD長度的所有值為$\sqrt{7}，\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 由已知求得△BCD的面積，再由面積公式求得sinB，進一步求得cosB，再由余弦定理求得CD長度．

解答 解：如圖，

在四面體ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB為以BCD為底面的三棱錐的高，
∵${V}_{A-BCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=1，∴由$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${S}_{△BCD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
又BC=2，BD=3，得$\frac{1}{2}×2×3×sinB=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴cosB=$±\frac{1}{2}$．
當cosB=$\frac{1}{2}$時，CD²=2²+3²-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，則CD=$\sqrt{7}$；
當cosB=-$\frac{1}{2}$時，CD²=2²+3²-2×2×3×（$-\frac{1}{2}$）=19，則CD=$\sqrt{19}$．
∴CD長度的所有值為$\sqrt{7}$，$\sqrt{19}$．
故答案為：$\sqrt{7}$，$\sqrt{19}$．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了棱錐的體積公式，訓練了余弦定理的應用，是中檔題．