Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，其長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，直線l：y=$\frac{3}{2}$x+m交橢圓于兩點(diǎn)C，D．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AD，CB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，列出方程組，求出a，b，c，由此能求出橢圓方程．
（II）聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得3x²+3mx+m²-3=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件能求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$，（2分）
解得$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，（4分）
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（5分）
（II）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得3x²+3mx+m²-3=0①，
∴判別式△=（3m）²-12（m²-3）=-3m²+36＞0，解得m²＜12，（7分）
∵x₁，x₂為①式的根，∴${x_1}+{x_2}=-m，{x_1}{x_2}=-\frac{{{m^2}-3}}{3}$，（8分）
由題意知A（-2，0），B（2，0），∴${k_{AD}}={k_1}=\frac{y_2}{{{x_2}+2}}，{k_{BC}}={k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}$．
∵k₁：k₂=2：1，即$\frac{{{y_2}（{x_1}-2）}}{{{y_1}（{x_2}+2）}}=\frac{2}{1}$，得$\frac{{y_2^2{{（{x_1}-2）}^2}}}{{y_1^2{{（{x_2}+2）}^2}}}=4$②，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，∴${{y}_{1}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）$，同理${{y}_{2}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）$，（10分）
代入②式，解得$\frac{（2-{x}_{2}）（2-{x}_{1}）}{（2+{x}_{1}）（2+{x}_{2}）}$=4，即10（x₁+x₂）+3x₁x₂+12=0，
∴10（-m）+m²-3+12=0，解得m=1或m=9，
又∵m²＜12，∴m=9（舍去），∴m=1．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程的合理運(yùn)用．