Question

1．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求D₁B與平面ABCD所成的角的正弦；
（2）求二面角B₁-AC-B的正切．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，AC，交于點(diǎn)O，∠D₁BD為D₁B與平面ABCD所成的角，由此能求出D₁B與平面ABCD所成的角的正弦值．
（2）連結(jié)B₁O，∠B₁OB是二面角B₁-AC-B的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-B的正切值．

解答 解：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，
連結(jié)BD，AC，交于點(diǎn)O，
∴∠D₁BD為D₁B與平面ABCD所成的角，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為1，
在Rt△D₁DB中，sin∠D₁BD=$\frac{D{D}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴D₁B與平面ABCD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）連結(jié)B₁O，
∵AC⊥BD，AC⊥B₁B，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面B₁OB，
∴∠B₁OB是二面角B₁-AC-B的平面角，
在Rt△B₁BO中，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BB₁=1，
∴tan$∠{B}_{1}OB=\sqrt{2}$．
∴二面角B₁-AC-B的正切為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角、二面角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．