Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=2t-1}\end{array}$（t為參數(shù)），直線和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓心的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出圓C的直角坐標(biāo)方程，得出圓心坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)；
（II）求出直線l的普通方程，圓心到直線的距離d，利用勾股定理求出|AB|，則△PAB在AB邊上的高最大為d+r．

解答 解；（I）∵$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，∴ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y-2x，即（x+1）²+（y-1）²=2．
∴圓C的圓心為C（-1，1），轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（II）直線l的普通方程為2x-y+1=0，
∴圓心到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．又圓C的半徑r=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-mcas6z5^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴當(dāng)P到直線l的距離為d+r時(shí)，△PAB面積最大．
∴△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}$|AB|•（d+r）=$\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{30}}{5}•（\frac{2\sqrt{5}}{5}+\sqrt{2}）$=$\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．