為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時間利用問題，某校從高二年級1000名學(xué)生（其中走讀生450名，住宿生500名）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到頻率分布直方圖如圖所示．已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：
利用時間充分利用時間不充分總計
走讀生
住宿生10
總計
據(jù)此資料，你是否認為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)？
（3）若在第①組、第②組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；
參考公式：K2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
．
考點：頻率分布直方圖,獨立性檢驗的應(yīng)用
專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計
分析：（1）根據(jù)頻率直方圖，利用頻率=
頻數(shù)
樣本容量
，求出樣本容量n，以及第④組的頻率和
頻率
組距
，補全頻率分布直方圖即可；
（2）由頻率分布直方圖，計算抽取的“走讀生”以及利用時間不充分的人數(shù)，利用2×2列聯(lián)表，計算K2的值，即可得出正確的判斷；
（3）求出X的所有可能取值以及對應(yīng)的概率，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望值．
解答： 解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），
由圖可知：P1=
1
3000
×30=
1
100
，P2=
1
750
×30=
4
100
；
∴學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的頻率為P1+P2=
5
100
；
由題意：n×
5
100
=5，
∴n=100；…（2分）
又P3=
1
375
×30=
8
100
，P5=
1
100
×30=
30
100
，
P6=
1
120
×30=
25
100
，P7=
1
200
×30=
15
100
，P8=
1
600
×30=
5
100
；
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=
12
100
；
∴第④組的高度為：h=
12
100
×
1
30
=
12
3000
=
1
250
；
補全頻率分布直方圖如圖所示：

（注：未標明高度1/250扣1分）…（4分）
（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，
“走讀生”有45人，利用時間不充分的有40人，
從而2×2列聯(lián)表如下：

利用時間充分利用時間不充分總計
走讀生301545
住宿生451055
總計7525100
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得；  …（6分）
K2=
100(30×10-45×15)2
(30+45)(15+10)(30+15)(45+10)
=
100
33
≈3.030；
因為3.030＜3.841，
所以沒有理由認為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)；…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑧組5，總計10人，
則X的所有可能取值為0，1，2，3；
∴P（X=0）=
C
0
5
•C
3
5
C
3
10
=
1
12
，P（X=1）=
C
1
5
•C
2
5
C
3
10
=
5
12
，
P（X=2）=
C
2
5
•C
1
5
C
3
10
=
5
12
，P（X=3）=
C
3
5
•C
0
5
C
3
10
=
1
12
；…（10分）
∴X的分布列為：
X0123
P
1
12
5
12
5
12
1
12
∴EX=0×
1
12
+1×
5
12
+2×
5
12
+3×
1
12
=
18
12
=
3
2
；…（12分）
（或由超幾何分布的期望計算公式EX=n×
M
N
=3×
5
10
=
3
2
）．
點評：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了2×2列聯(lián)表的應(yīng)用問題，考查了離散型隨機事件的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，考查了計算能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（　　）
A、30(
3
+1)m
B、120(
3
-1)m
C、180(
2
-1)m
D、240(
3
-1)m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，則下列三個命題中為真命題的個數(shù)為（　�。�
①在β內(nèi)過點B的所有直線中存在唯一一條與a垂直的直線
②過直線a存在唯一一條與β垂直的平面
③在β內(nèi)過點B的所有直線中存在唯一一條與a平行的直線．
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求下列函數(shù)的最小正周期．
（1）y=sin（
π
2
x+3）；
（2）y=|cosx|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的方程x2+（4+i）x+3+pi=0（p∈R）有實數(shù)根，求p的值，并解這個方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的方程|x2-2x|=a（a＞0）的解集為P，則P中所有元素的和可能是（　�。�
A、1，2，3
B、2，3，4
C、3，4，5
D、2，3，5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

安徽省第13屆運動會在安慶舉行，為了更好地做好服務(wù)工作，需對所有的志愿者進行賽前培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后，所有志愿者參加了“綜合素質(zhì)”和“服務(wù)技能”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“綜合素質(zhì)”科目的成績?yōu)锽的考生有10人．
（1）求該考場考生中“綜合素質(zhì)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；
（2）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)90分，80分，70分，60分，50分，若該場考生的平均成績不低于60分則認為培訓(xùn)合格，問該場考試綜合素質(zhì)培訓(xùn)是否合格，并說明理由．
（3）已知參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為A．在至少一科成績?yōu)锳的考生中，隨機抽取兩人進行訪談，求這兩人的兩科成績均為A的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且a2+b2+c2=84，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�
A、[2
5
，2
7
]
B、（2
5
，2
7
]
C、[2
6
，2
7
]
D、（2
6
，2
7
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖為某倉庫一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)節(jié)倉庫內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個矩形的通風窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）．過O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（單位：m），記通風窗EFGH的面積為S（單位：m2）
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
（i）設(shè)∠POF=θ（rad），將S表示成θ的函數(shù)；
（ii）設(shè)MN=x（m），將S表示成x的函數(shù)；
（2）試問通風窗的高度MN為多少時？通風窗EFGH的面積S最大？

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同步練習(xí)冊答案