Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2ax²+x+3．
（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若x∈（-∞，-1]時，不等f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，求導f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由題意，必有f（-1）=-1+2a-1+3≤0，從而可得a≤-

1

2

；在a≤-

1

2

的條件下討論f′（x）在（-∞，-1]上的正負，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）當a=1時，f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
當x∈（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（-1，-

1

3

）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，-

1

3

）是減函數(shù)；
（2）∵在x∈（-∞，-1]時，不等式f（x）≤0恒成立，
∴f（-1）=-1+2a-1+3≤0，
∴a≤-

1

2

；
而f′（x）=3x²+4ax+1，
若△＜0，則f′（x）＞0；
若△≥0，則由韋達定理可知，
f′（x）=0的兩個根都大于0；
故當x∈（-∞，-1]時，f′（x）＞0恒成立；
故f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，
故在x∈（-∞，-1]時，不等式f（x）≤0恒成立可化為
f（-1）=-1+2a-1+3≤0，
即a≤-

1

2

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，第二問比較難，屬于難題．