Question

18．已知a＞0，（$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$-x）⁶展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則$\int_{-a}^a$（x²+x+$\sqrt{1-{x^2}}}$）dx=$\frac{2}{3}+\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．求出a的值，在求定積分的值．

解答 解：根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}{a}^{n-r}^{r}$
∴二項(xiàng)式（$\frac{a}{{\sqrt{x}}}$-x）⁶展開的通項(xiàng)公式為${C}_{6}^{r}（\frac{a}{\sqrt{x}}）^{6-r}（-x）^{r}$
∵常數(shù)項(xiàng)為15，∴$-\frac{1}{2}（6-r）+r=0$，解得：r=2
∵常數(shù)項(xiàng)為${C}_{6}^{2}{a}^{4}（-1）^{2}$=15
解得：a=1
∴$\int_{-a}^a$（x²+x+$\sqrt{1-{x^2}}}$）dx=${∫}_{-1}^{1}{x}^{2}ykq8a8w_{x}+{∫}_{-1}^{1}x8u2syio_{x}{+∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}ccaqm6g_{x}$
∵${∫}_{-1}^{1}{x}^{2}w6uqcos_{x}={2∫}_{0}^{1}{x}^{2}ckysi2u_{x}=\frac{2}{3}$，${∫}_{-1}^{1}xgyuae8s_{x}=0$          ${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}ik8sgug_{x}=\frac{π}{2}$
∴$\int_{-a}^a$（x²+x+$\sqrt{1-{x^2}}}$）dx=$\frac{2}{3}+\frac{π}{2}$
故答案為：$\frac{2}{3}+\frac{π}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了定積分的基本計(jì)算．屬于中檔題．