Question

已知在Rt△ABC中，A（-1，0），B（3，0），求：
（1）直角頂點C的軌跡方程；
（2）在（1）的條件下，直角邊BC的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）設點C（x，y），由題意可知AC垂直BC，且AC、BC的斜率都存在，寫出兩直線的斜率后由乘積等于-1列式求得直角頂點C的軌跡方程；
（2）設M（x，y），C（x₀，y₀），由中點坐標公式把C的坐標用M的坐標表示，代入C的軌跡方程得答案．

解答： 解：（1）設點C（x，y），由題意可知，C=90°，
則AC垂直BC，且AC、BC的斜率都存在，
由兩點求斜率可得直線AC的斜率k1=

y

x+1

，
直線BC的斜率k2=

y

x-3

，
則k1•k2=

y

x+1

•

y

x-3

=-1．
整理得：y²=-（x+1）（x-3），即y²=-x²+2x+3，
∴直角頂點C的軌跡方程（x-1）²+y²=4（x≠-1且x≠3）；
（2）設M（x，y），C（x₀，y₀），
∵M是BC的中點，∴

x= 3+x0 2 y= y0 2

，則

x0=2x-3 y0=2y

．
∵C（x₀，y₀）在（x-1）²+y²=4（x≠-1且x≠3）上，
∴(x0-1)2+y02=4（x₀≠1且x₀≠3），
把

x0=2x-3 y0=2y

代入得：（x-2）²+y²=1（x≠1且x≠3）．
∴直角邊BC的中點M的軌跡方程為（x-2）²+y²=1（x≠1且x≠3）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法，關鍵是注意點的取舍，是中檔題．