Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列
（1）求a₁； 
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b_n=

1

an2

，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，總有T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知：對(duì)于任意的n∈N^*總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得2S₁=a₁+a₁²，即可求a₁； 
（2）由已知可得2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2從而導(dǎo)出a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），利用a_n，a_n-1均為正數(shù)，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），由此推出a_n=n．
（3）利用放縮、裂項(xiàng)法，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知：對(duì)于任意的n∈N^*總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
（2）由已知：對(duì)于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2）②
①②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=n．
（3）b_n=

1

an2

=

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，T_n=b₁=1＜2，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=2-

1

n

＜2，
∴對(duì)任意正整數(shù)n，總有T_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用及等差關(guān)系關(guān)系的確定，這是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，屬于中檔題