Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若a=2，解不等式：f（x）≥3-|x-1|；
（2）若f（x）+|x+1|的最小值為4，且m+2n=a（m＞0，n＞0），求m²+4n²的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，化簡不等式，去絕對值即可求解．
（2）根據(jù)不等式的解集求出a的值，利用柯西不等式的性質(zhì)求解最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-a|．
當(dāng)a=2時，不等式為|x-2|≥3-|x-1|，即|x-1|+|x-2|≥3，
x≤1時，不等式化為-x+1-x+2≥3，∴x≤0，∴x≤0；
1＜x＜2時，不等式化為x-1-x+2≥3不成立；
x≥2時，不等式化為x-1+x-2≥3，∴x≥3；
∴原不等式的解集為（-∞，0]∪[3，+∞）；
（2）f（x）+|x+1|的最小值為4，|x-a|+|x+1|≥4，
由絕對值的幾何意義數(shù)值上的點(diǎn)與-1與a的距離的和的最小值為4，
∴a=3．
∴m+2n=3，
∴（1+1）（m²+4n²）≥（m+2n）²，
∴m²+4n²≥$\frac{9}{2}$，
∴m²+4n²的最小值為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的最值，以及絕對值不等式的解法，去掉絕對值是關(guān)鍵．同時考查了基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用．屬于中檔題．