Question

若曲線C上任意一點(diǎn)與直線l上任意一點(diǎn)的距離都大于1，則稱(chēng)曲線C“遠(yuǎn)離”直線l，在下列曲線中，“遠(yuǎn)離”直線l：y=2x的曲線有

 

．（寫(xiě)出所有符合條件的曲線C的編號(hào)）
①曲線C：2x-y+

5

=0②曲線C：y=-x²+2x-

9

4

③曲線C：x²+（y-5）²=1④曲線C：y=e^x+1
⑤曲線C：y=lnx-2．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①：利用點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

| 5 |

22+1

=1，即可判斷出正誤；
②：設(shè)直線l₁：y=2x+b與曲線C：y=-x²+2x-

9

4

相切，把y=2x+b代入曲線C得x²+

9

4

+b=0，利用△=0，解得b=-

9

4

，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得此時(shí)直線l₁與l的距離d，即可判斷出正誤；
③：求出圓心C（0，5）到直線l的距離d=

5

，可得圓C上的點(diǎn)到l距離的最小值為

5

-1＞1，即可判斷出正誤；
④：設(shè)曲線C上斜率為2的切線的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：切線：y-3=2（x-ln2），即：2x-y+3-ln2=0，切線與l的距離d，即可判斷出正誤；
⑤：設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得P(

1

2

，-2-ln2)，求出點(diǎn)P到直線l的距離d，即可判斷出正誤．

解答： 解：對(duì)①：∵d=

| 5 |

22+1

=1，∴不合題意；
對(duì)②：設(shè)直線l₁：y=2x+b與曲線C：y=-x²+2x-

9

4

相切，把y=2x+b代入曲線C得x²+

9

4

+b=0，由△=0-4(

9

4

+b)=0，得b=-

9

4

，此時(shí)直線l₁與l的距離d=

9 4

5

=

81 80

＞1，符合題意；
對(duì)③：∵圓心C（0，5）到直線l的距離d=

|0-5|

5

=

5

，∴圓C上的點(diǎn)到l距離的最小值為

5

-1＞1，符合題意；
對(duì)④：設(shè)曲線C上斜率為2的切線的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），∵y′=e^x，∴k=y′|x0=ex0=2，∴x₀=ln2，∴P（ln2，3），切線：y-3=2（x-ln2），即：2x-y+3-ln2=0，∴切線與l的距離d=

|3-2ln2|

5

=

|3-ln4|

5

，∵ln4∈（1，2），∴3-ln4∈（1，2），而

5

＞2，∴d＜1，不合題意；
對(duì)⑤：設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），∵y′=

1

x

，∴k=y′|x=x0=

1

x0

=2，∴x0=

1

2

，∴P(

1

2

，-2-ln2)，∴d=

|1+ln2+2|

5

＞1，符合題意．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新“定義”、點(diǎn)到直線的距離公式、利用導(dǎo)數(shù)研究切線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．