Question

20．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁，a₉是方程x²+9x+16=0的兩根，若曲線(xiàn)$y=\frac{x^2}{2}-2lnx+1$在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為$k=\frac{1}{4}{a_5}$，則切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_P=1．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的性質(zhì)和韋達(dá)定理可得a₅=-4，再由導(dǎo)數(shù)和切線(xiàn)的關(guān)系可得x_p的方程，解方程可得．

解答 解：∵在等比數(shù)列{a_n}中，a₁，a₉是方程x²+9x+16=0的兩根，
∴a₁+a₉=-9，a₁a₉=16，∴a₁，a₉為負(fù)數(shù)，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₅=-$\sqrt{{a}_{1}{a}_{9}}$=-4，
又∵曲線(xiàn)$y=\frac{x^2}{2}-2lnx+1$在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為$k=\frac{1}{4}{a_5}$，
求導(dǎo)數(shù)可得y′=x-$\frac{2}{x}$，∴x_p-$\frac{2}{{x}_{p}}$=-1，
解得x_P=1，或x=-2，由lnx有意義可得x_P=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和導(dǎo)數(shù)與切線(xiàn)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．