Question

13．已知函數(shù)f（x）=x-4+$\frac{9}{x+1}$（x＞-1），當(dāng)x=a時，f（x）取得最小值，則在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{a}$）^|x+1|的大致圖象為（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由題意利用基本不等式可得當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值為1，由此求得a的值，可得g（x）的解析式，再利用g（x）得圖象的對稱性以及g（x）的單調(diào)性、最值，結(jié)合所給的圖象，可得結(jié)論．

解答 解：∵當(dāng)x＞-1時，函數(shù)f（x）=x-4+$\frac{9}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$-5≥2$\sqrt{9}$-5=1，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{9}{x+1}$，即x=2時，取等號，
故當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值為1．
又已知當(dāng)x=a時，f（x）取得最小值，故有a=2，故函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{a}$）^|x+1|=${（\frac{1}{2}）}^{|x+1|}$，故g（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
當(dāng)x＞-1時，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x=-1時，函數(shù)g（x）取得最大值為1，結(jié)合所給的選項(xiàng)，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)的單調(diào)性以及最值，屬于中檔題．