Question

18．設函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x-4sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
（1）化簡f（x）并寫出最大值與最小值
（2）△ABC中，f（B）=-$\frac{1}{2}$，b=2，求ac的最大值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）圖象的最值．
（2）由（1）求出f（B）的解析式，由f（B）=-$\frac{1}{2}$解出B的大小，再利用正弦定理或者基本不等式即可求出ac的最大值．

解答 解：∵f（x）=sin²x-cos²x-4sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
?f（x）=-cos2x-4sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
?f（x）=-cos2x-2sin（2x$+\frac{π}{2}$）
?f（x）=-cos2x+2cos2x
∴f（x）=cos2x，
又∵cosx正弦函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，
所以f（x）的最大值為1，最小值為-1．
（2）由（1）得f（x）=cos2x
∴$f（B）=cos2B=-\frac{1}{2}$，
解得：2B=120°，即B=60°
由余弦定理得：4=a²+c²-ac，
又a²+c²≥2ac，∴ac≤4，（當且僅當a=c時取等號）
所以：ac的最大值為4．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正弦定理或者基本不等式求最值問題．三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．