Question

15．如圖，扇形OAB的中心角為直角，半徑為1，點P為扇形OAB的弧$\widehat{AB}$上任意一點，設(shè)$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OA}$（x，y∈R），$\overrightarrow a$=（x，y），$\overrightarrow b$=（${\sqrt{3}$，1），則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值為（　�。�

• A． -1
• B． -2
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得x²+y²=1（0≤x≤1，0≤y≤1）．得到$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}x+\sqrt{1-{x}^{2}}$，令x=cosθ（0°≤θ≤90°）換元，化為關(guān)于θ的三角函數(shù)后利用輔助角公式化積，再由θ的范圍求得$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值．

解答 解：如圖，
∵∠AOB=90°，且OA=OB=1，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OA}$，
∴x²+y²=1（0≤x≤1，0≤y≤1）．
又$\overrightarrow a$=（x，y），$\overrightarrow b$=（${\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}x+\sqrt{1-{x}^{2}}$，
令x=cosθ（0°≤θ≤90°），
則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}x+\sqrt{1-{x}^{2}}$=sinθ$+\sqrt{3}cosθ$=2sin（θ+30°），
∵0°≤θ≤90°，
∴30°≤θ+30°≤120°，
則$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）_{min}=2×\frac{1}{2}=1$．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了三角函數(shù)的最值的求法，是中檔題．