【題目】已知直角梯形中， ， ， ， 、分別是邊、上的點，且，沿將折起并連接成如圖的多面體，折后．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若折后直線與平面所成角的正弦值是，求證：平面平面．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由， 可得平面，從而，結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理可得； 平面，所以；（Ⅱ）作于，連，由（Ⅰ）知，即為與平面所成角，設(shè)， ，而直線與平面所成角的正弦值是，即，以 為軸建立坐標(biāo)系，取的中點，先證明平面的法向量是，再利用向量垂直數(shù)量積為零可得平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）∵， ，

∴， ，

又， ，

∴平面， ，

又， ，

∴平面， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

作于，連，由（Ⅰ）知，

即為與平面所成角，設(shè)， ，

而直線與平面所成角的正弦值是，即．

（或：平面的法向量是， ， ， ，

則）．

易知平面平面于，取的中點，則平面，

而，則平面的法向量是，

（或另法求出平面的法向量是），

再求出平面的法向量，

設(shè)二面角是，則，

∴平面平面．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某儀器經(jīng)過檢驗合格才能出廠，初檢合格率為：若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對其進(jìn)行檢驗；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表：

項目

生產(chǎn)成本

檢驗費/次

調(diào)試費

出廠價

金額（元）

1000

100

200

3000

（Ⅰ）求每臺儀器能出廠的概率；

（Ⅱ）求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為1600元的概率（注：利潤出廠價生產(chǎn)成本檢驗費調(diào)試費）；

（Ⅲ）假設(shè)每臺儀器是否合格相互獨立，記為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，直線過點且依次交拋物線及圓于四點，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的焦點是橢圓的頂點， 為橢圓的左焦點且橢圓經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右頂點作斜率為的直線交橢圓于另一點，連結(jié)并延長交橢圓于點，當(dāng)的面積取得最大值時，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】運動會時，高一某班共有28名同學(xué)參加比賽，每人至多報兩個項目．15人參加游泳，8人參加田徑，14人參加球類．同時參加游泳和田徑的有3人，同時參加游泳和球類的有3人，則只參加一個項目的有______人．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值，其中，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， 為等邊三角形，平面平面， ， ， ， ， 為的中點．

（）求證： ．

（）求二面角的余弦值．

（）若平面，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點為，上頂點為為坐標(biāo)原點，橢圓的離心率且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)線段的中點為，經(jīng)過的直線與橢圓交于兩點， ，若點關(guān)于軸的對稱點在直線上，求直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，平面平面，且，

是等邊三角形， .

(1)證明： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

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