Question

6．已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作一直線l，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|$\overrightarrow{AB}$|=6，則$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=（　　）

• A． -6
• B． -2
• C． 2
• D． 6

Answer 1

分析 先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并將直線設(shè)為x=my+1，代入拋物線y²=4x，運(yùn)用拋物線定義和韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
拋物線y²=4x焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
依據(jù)拋物線定義，|AB|=x₁+x₂+2=6，∴x₁+x₂=4
設(shè)直線方程為x=my+1代入y²=4x
得y²-4my-4=0
∴y₁y₂=-4，y₁+y₂=4m，
∴x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=1
∴$\overrightarrow{FA}$$•\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=1-4+1-4=-6
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了拋物線的定義和直線與拋物線的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)拋物線定義和韋達(dá)定理在解題中的重要應(yīng)用．