Question

2．設函數(shù)f′（x）是偶函數(shù)f（x）（x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的導函數(shù)，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知當x＞0時總有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，不等式f（x）＞0等價于x•g（x）＞0，分類討論即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又∵g（-x）=-g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的奇函數(shù)，g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
又∵g（-1）=0，
∴g（1）=0，
∴不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0，
∴x＞0，g（x）＞0或x＜0，g（x）＜0，
∴0＜x＜1或-1＜x＜0，
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-1，0）∪（0，1），
故選：C．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并由函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式，由題意構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解答該題的關鍵，屬中檔題．