Question

11．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）求和：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）直接由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂項(xiàng)相消法求$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，
∴${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=3n+\frac{2n（n-1）}{2}={n}^{2}+2n$，
（2）∵$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．