Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+13x+36．
（Ⅰ）求h（x）=$\frac{1}{{\sqrt{f（x）}}}$的定義域；
（Ⅱ）對(duì)任意x＞0，$\frac{f（x）}{x}$＞m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得x²+13x+36＞0，運(yùn)用二次不等式的解法，即可得到所求定義域；
（Ⅱ）對(duì)任意x＞0，$\frac{f（x）}{x}$＞m恒成立，即為m＜$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$的最小值，運(yùn)用基本不等式可得右邊函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=$\frac{1}{{\sqrt{f（x）}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+13x+36}}$，
由x²+13x+36＞0，即（x+4）（x+9）＞0，
解得x＞-4或x＜-9，
即定義域?yàn)椋?∞，-9）∪（-4，+∞）；
（Ⅱ）對(duì)任意x＞0，$\frac{f（x）}{x}$＞m恒成立，
即為m＜$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$的最小值，
由g（x）=$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$（x＞0），
即g（x）=x+$\frac{36}{x}$+13≥2$\sqrt{x•\frac{36}{x}}$+13=25，
當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，取得最小值25．
則m＜25．
即有m的取值范圍是（-∞，25）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意運(yùn)用分式分母不為0，偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用基本不等式求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．