Question

11．已知三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC內(nèi)的射影為點H，側(cè)棱PA=PB=PC，點O為三棱錐P-ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$，且λ+μ=1，則球O的表面積為150π．

Answer 1

分析 確定球心在PH上，由PH⊥AB，PH⊥AC，則$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AC}$=0，對條件，兩邊取點乘向量AB，向量AC，向量AH，以及兩邊平方，運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，計算即可得到半徑R，再由球的表面積公式計算即可得到．

解答 解：由于三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC內(nèi)的射影為點H，
O為球心，OA=OB=OC=OP=R，
即有PH⊥AB，PH⊥AC，∴$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{AC}$=0，
由$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$，①
則有$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AB}$，
即有32=64λ+μ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，②
同理對①兩邊取點乘$\overrightarrow{AC}$，可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，③
又μ+λ=1④
由②③④解得，λ=$\frac{1}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即有$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$．
即有$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AH}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AH}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{AH}$，
即為AH²=$\frac{1}{2}$×32+$\frac{1}{2}$×18=25，
又 $\overrightarrow{AO}$²=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}$$\overrightarrow{HP}$）²，
即R²=$\frac{1}{4}$×64+$\frac{1}{4}$×36+（$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$）²HP²+2×$\frac{1}{4}$×$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=25+（$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$）²HP²，⑤
又在直角三角形AOH中，
R²=（HP-R）²+AH²，即有（HP-R）²=R²-25⑥
由⑤⑥解得R²=$\frac{75}{2}$，
則有球O的表面積S=4πR²=150π．
故答案為：150π．

點評 本題考查球的表面積的求法，關(guān)鍵是求得球的半徑，同時考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，通過兩邊取點乘和兩邊平方法，是解題的重點，具有一定的運算量，屬于難題．