8.設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,若點(diǎn)An(n,$\frac{S_n}{n}}$)在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng),其中c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=tanan+1•tanan,tan195+tan3=atan2,求數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)和(用含a的式子表示).

分析 (1)由點(diǎn)An(n,$\frac{S_n}{n}}$)在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng),可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c,即Sn=-n2+cn,由于c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3.代入可得c,再利用遞推關(guān)系即可得出.
(II)由tan(an+1-an)=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{1+tan{a}_{n+1}tan{a}_{n}}$,可得bn=tanan+1•tanan=-$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan2}$-1.即可得出.

解答 解:(1)∵點(diǎn)An(n,$\frac{S_n}{n}}$)在函數(shù)f(x)=-x+c的圖象上運(yùn)動(dòng),∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c,∴Sn=-n2+cn,
∵c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3.∴3=-1+c,解答c=4.
∴Sn=-n2+4n.
∴n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-n2+4n-[-(n-1)2+4(n-1)]=-2n+5,n=1時(shí)也成立.
(II)∵tan(an+1-an)=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{1+tan{a}_{n+1}tan{a}_{n}}$,∴bn=tanan+1•tanan=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan(-2)}$-1=-$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan2}$-1.
∴數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)和T99=-$\frac{1}{tan2}[(tan{a}_{100}-tan{a}_{99})$+(tana99-tana98)+…+(tana2-tana1)]-99
=-$\frac{tan(-195)-tan3}{tan2}$-99
=a-99.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、遞推關(guān)系、和差公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.過(guò)直線x-y-3=0與2x-y-5=0的交點(diǎn),且與向量$\overrightarrow{n}$=(1,-3)垂直的直線方程是( 。
A.x-3y-5=0B.3x+y-5=0C.x+3y-5=0D.x-y-5=0

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17.在平面直角坐標(biāo)系中,|$\overrightarrow{a}$|=2014,$\overrightarrow{a}$與x軸非負(fù)半軸的夾角為$\frac{π}{3}$,$\overrightarrow{a}$始點(diǎn)與原點(diǎn)重合,終點(diǎn)在第一象限,則向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)是( 。
A.(1007$\sqrt{2}$,1007$\sqrt{2}$)B.(-1007$\sqrt{2}$,1007$\sqrt{2}$)C.(1007,1007$\sqrt{3}$)D.(1007$\sqrt{3}$,1007)

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16.從2016年1月1日起,廣東、湖北等18個(gè)保監(jiān)局所轄地區(qū)將納入商業(yè)車險(xiǎn)改革試點(diǎn)范圍,其中最大的變化是上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率,具體關(guān)系如表:
上一年出險(xiǎn)次數(shù)012345次以上(含5次)
下一年保費(fèi)倍率85%100%125%150%175%200%
連續(xù)兩年沒(méi)出險(xiǎn)打7折,連續(xù)三年沒(méi)出險(xiǎn)打6折
經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車價(jià)格有較強(qiáng)的線性關(guān)系,下面是隨機(jī)采集的8組數(shù)據(jù)(x,y)(其中x(萬(wàn)元)表示購(gòu)車價(jià)格,y(元)表示商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)):(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500),設(shè)由著8組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為:$\widehat{y}$=b$\widehat{x}$+1055.
(1)求b;
(2)有評(píng)估機(jī)構(gòu)從以往購(gòu)買了車險(xiǎn)的車輛中隨機(jī)抽取了1000輛調(diào)查,得到一年中出險(xiǎn)次數(shù)的頻數(shù)分布如下(并用相應(yīng)頻率估計(jì)2016年度出險(xiǎn)次數(shù)的概率):
一年中出險(xiǎn)的次數(shù)012345次以上(含5次)
頻數(shù)5003801001541
廣東李先生2016年1月購(gòu)買一輛價(jià)值20萬(wàn)元的新車,根據(jù)以上信息,試估計(jì)該車輛在2017年1月續(xù)保時(shí)應(yīng)繳的商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)(精確到元),并分析車險(xiǎn)新政是否總體上減輕了車主負(fù)擔(dān),(假設(shè)車輛下一年與上一年都購(gòu)買相同的商業(yè)車險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行續(xù)保)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.在△ABC中,若A=30°,$a=\sqrt{3}$,則$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=2$\sqrt{3}$.

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13.在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表
空氣質(zhì)量指數(shù)t(0,50](50,100](100,150](150,200)(200,300](300,+∞)
質(zhì)量等級(jí)優(yōu)輕微污染輕度污染中度污染嚴(yán)重污染
天數(shù)K52322251510
(1)若該城市各醫(yī)院每天收治上呼吸道病癥總?cè)藬?shù)y與當(dāng)天的空氣質(zhì)量t(t取整數(shù))存在如下關(guān)系y=$\left\{\begin{array}{l}{t,t≤100}\\{2t-100,100<t≤300}\\{\;}\end{array}\right.$且當(dāng)t>300時(shí),y>500,估計(jì)在某一醫(yī)院收治此類病癥人數(shù)超過(guò)200人的概率;
(2)若在(1)中,當(dāng)t>300時(shí),y與t的關(guān)系擬合與曲線 $\stackrel{∧}{y}$=a+blnt,現(xiàn)已取出了10對(duì)樣本數(shù)據(jù)(ti,yi)(i=1,2,3,…,10)且知$\sum_{i=1}^{10}$lnti=70,$\sum_{i=1}^{10}$yi=6000,$\sum_{i=1}^{10}$yilnti=42500,$\sum_{i=1}^{10}$(lnti2=500試用可線性化的回歸方法,求擬合曲線的表達(dá)式
(附:線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=a+bx中,b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.

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20.如圖,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:CO⊥面VAB;
(3)求三棱錐C-VAB的體積.

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17.某產(chǎn)品廣告費(fèi)用x與銷售額y(單位:萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表,根據(jù)如表得到回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=10.6x+a,則a=5.9.
廣告費(fèi)用x4235
銷售額y(萬(wàn)元)49263958

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18.已知多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,當(dāng)x=5時(shí)利用秦九韶算法可得v2=21.

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