Question

13．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ=6sinθ-8cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂為直角坐標(biāo)方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）已知曲線C₁上的點(diǎn)P（ρ，$\frac{π}{2}$），Q為曲線C₂上一動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ=6sinθ-8cosθ，即ρ²=6ρsinθ-8ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)φ可得的直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出曲線的形狀．
（2）曲線C₁上的點(diǎn)P（ρ，$\frac{π}{2}$），代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程可得P$（6，\frac{π}{2}）$，可得直角坐標(biāo)（0，6）．設(shè)Q（8cosφ，6sinφ）（0≤φ＜2π），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：M$（4cosφ，3+\frac{3}{2}sinφ）$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的普通方程為x-2y-7=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)M到直線l的距離，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：ρ=6sinθ-8cosθ，即ρ²=6ρsinθ-8ρcosθ，可得：直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=6y-8x，配方為：（x+4）²+（y-3）²=25，表示圓心在（-4，3）半徑為5的圓．
曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），消去參數(shù)φ可得的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，表示焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16，短軸長(zhǎng)為6的橢圓．
（2）曲線C₁上的點(diǎn)P（ρ，$\frac{π}{2}$），代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程：ρ=6sin$\frac{π}{2}$-8cos$\frac{π}{2}$=6，∴P$（6，\frac{π}{2}）$，可得直角坐標(biāo)（0，6）．
設(shè)Q（8cosφ，6sinφ）（0≤φ＜2π），則M$（4cosφ，3+\frac{3}{2}sinφ）$，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=-2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的普通方程為x-2y-7=0，
則點(diǎn)M到直線l的距離為d=$\frac{|4cosφ-6-3sinφ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（φ-α）+13|}{\sqrt{5}}$$\frac{8}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
當(dāng)cosφ=$\frac{4}{5}$，sinφ=-$\frac{3}{5}$時(shí)，d取得最小值$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．