Question

3．設(shè)f（x）是定義在（-∞，+∞）上，以2為周期的周期函數(shù)，且f（x）為偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4，則x∈[0，2]時，f（x）=-2（x-1）²+4．

Answer 1

分析 當x∈[-3，-2]時-x∈[2，3]，利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出f（x），再利用函數(shù)的周期性求出x∈[1，2]的f（x）解析式，同理求出x∈[0，1]的f（x）解析式，即可得出結(jié)論．

解答 解：當x∈[-3，-2]時，-x∈[2，3]，
∵f（x）是偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4，
∴f（x）=f（-x）=-2（-x-3）²+4=-2（x+3）²+4．
當x∈[1，2]時，-3≤x-4≤-2，∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）=f（x-4）=-2[（x-4）+3]²+4=-2（x-1）²+4．
∴f（x）=-2（x-1）²+4（1≤x≤2）；
當x∈[0，1]時，2≤x+2≤3，∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）=f（x+2）=-2[（x+2）-3]²+4=-2（x-1）²+4．
∴f（x）=-2（x-1）²+4（0≤x≤1）；
∴f（x）=-2（x-1）²+4（0≤x≤2）．
故答案為-2（x-1）²+4．

點評 本題考查利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)的解析式，此題是一道中檔題，計算量比較大，考查學生的計算能力．