Question

5．已知曲線y=$\frac{1}{3}$x³+x．
（1）求曲線在點(diǎn)P（1，$\frac{4}{3}$）處的切線方程；      
（2）求該曲線的切線傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³+x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)導(dǎo)數(shù)值即函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解即可；
（2）導(dǎo)數(shù)值域就是切線斜率取值范圍，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)閥=$\frac{1}{3}$x³+x，
所以y′=x²+1，
曲線y=$\frac{1}{3}$x³+x在點(diǎn)（1，$\frac{4}{3}$）處的切線的斜率為：y′|_x=1=2．
此處的切線方程為：y-$\frac{4}{3}$=2（x-1），即6x-3y-2=0；
（2）∵y′=x²+1≥1，∴tanα≥1，
∴該曲線的切線傾斜角的取值范圍是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、關(guān)鍵是求出直線的斜率，正確利用直線的點(diǎn)斜式方程，考查計(jì)算能力．