Question

17．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，點(diǎn)$（{\sqrt{3}，0}）$是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)
（1）求雙曲線的方程；
（2）經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F₂作斜率為1的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a=$\sqrt{3}$，利用離心率公式計(jì)算c，得出b，即可得出雙曲線方程；
（2）求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線l的方程，聯(lián)立方程組得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算|AB|．

解答 解：（1）∵雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為（$\sqrt{3}$，0），離心率為$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=3，∴b²=c²-a²=6．
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（2）雙曲線的右焦點(diǎn)為F₂（3，0）．
∴直線l的方程為y=x-3．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，消元得x²+6x-15=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-6，x₁x₂=-15．
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{36+60}$=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．