Question

（本小題滿分12分）
如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N(點(diǎn)M必在點(diǎn)N的右側(cè)），且已知橢圓D：的焦距等于，且過(guò)點(diǎn)

( I ) 求圓C和橢圓D的方程；
(Ⅱ) 若過(guò)點(diǎn)M斜率不為零的直線與橢圓D交于A、B兩點(diǎn)，求證：直線NA與直線NB的傾角互補(bǔ)．

Answer 1

(1) 圓的方程是 ，橢圓的方程為.
(2)利用直線的斜率互為相反數(shù)來(lái)證明

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，由題意，圓心為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003641548593.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
故圓的方程是 ①
在①中，令解得或，所以
由得，故
所以橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為
由得
設(shè)
則 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240036418601545.png" style="vertical-align:middle;" />



=0.
所以，
當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，對(duì)方程，，不合題意.
所以直線與直線的傾斜角互補(bǔ).
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法來(lái)和題目中的條件得到關(guān)系式，求解得到方程，同時(shí)對(duì)于直線與橢圓相交時(shí)，判定直線的傾斜角互補(bǔ)，只要求解斜率互為相反數(shù)即可，屬于中檔題。