Question

等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF將梯形折疊使A，B重合于A點（如圖），G為AC上一點，F(xiàn)G⊥平面ACE．

（Ⅰ）求證：AE⊥AF；
（Ⅱ）求DG與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由FG⊥平面ACE，可得FG⊥AE，由CF⊥AF，CF⊥EF，可得CF⊥平面AEF，可得CF⊥AE，AE⊥平面ACF，即可證明；
（II）如圖所示，建立空間直角坐標系．則E（0，0，0），A(

2

，

2

，0)，C(0，2

2

，2)，D（0，0，2），G(

2

2

，

3 2

2

，1)．設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • EA =0 n • EC =0

，設(shè)DG與平面ACE所成角為θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

EG

＞|=

| n • EG |

| n || EG |

即可得出．

解答： （I）證明：∵FG⊥平面ACE，∴FG⊥AE，
∵CF⊥AF，CF⊥EF，AF∩EF=F，
∴CF⊥平面AEF，
∴CF⊥AE，又FG∩CF=F，
∴AE⊥平面ACF，
∴AE⊥AF；
（II）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
則E（0，0，0），A(

2

，

2

，0)，C(0，2

2

，2)，D（0，0，2），
利用三角形中位線定理與等腰直角三角形的性質(zhì)可得：G(

2

2

，

3 2

2

，1)．
∴

DG

=(

2

2

，

3 2

2

，-1)，

EA

=(

2

，

2

，0)，

EC

=(0，2

2

，2)．
設(shè)平面EAC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • EA = 2 x+ 2 y=0 n • EC =2 2 y+2z=0

，
令y=-1，解得x=1，z=

2

．
∴

n

=(1，-1，

2

)．
設(shè)DG與平面ACE所成角為θ．
則sinθ=|cos＜

n

，

EG

＞|=

| n • EG |

| n || EG |

=

2 2

2 6

=

3

3

．

點評：本題考查了空間線面面面位置關(guān)系的判定及其性質(zhì)、空間角的求法、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．