Question

如圖，已知拋線C：x²=4y，過點M（0，2）任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求D的縱坐標(biāo)y₀的值；
（Ⅱ）作C的任意一條切線l（不含x軸），與直線y=2相交于點N₁，與直線y=y₀相交于點N₂．求|MN₂|²-|MN₁|²的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)出直線AB的方程，與拋物線x²=4y聯(lián)立，求出x₁x₂，利用A，B的坐標(biāo)寫出直線AO與BC的直線方程，解出點D的坐標(biāo)，消去參數(shù)x₁，x₂，y₁，y₂，能求出D的縱坐標(biāo)y₀=-2．
（2）設(shè)出切線l的方程，利用直線與拋物線相切，簡化切線l的方程，進(jìn)而求出N₁，N₂的坐標(biāo)，由此能求出|MN₂|²-|MN₁|²的值．

解答： 解：（1）依題意可設(shè)AB的方程為y=kx+2，代入x²=4y，
得x²=4（kx+2），即x²-4kx-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂=-8．
直線AO的方程為y=

y1

x1

x，BD的方程為x=x₂，
解得交點D的坐標(biāo)為

x=x2 y= y1x2 x1

，
x₁x₂=-8，x12=4y₁，
∴y=

y1x1x2

x12

=-

8y1

4y1

=-2，
∴點D在定直線y=-2上，（x≠0），
∴D的縱坐標(biāo)y₀=-2．
（2）依題意，切線l的斜率存在且不等于0．
設(shè)切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代入x²=4y，得x²=4（ax+b），
即x²-4ax-4b=0．
由△=0得（4a）²+16b=0，化簡整理得b=-a²．
故切線l的方程可寫為y=ax-a²．
分別令y=2，y=-2，得N1，N2的坐標(biāo)為N₁（

2

a

+a，2），N₂（-

2

a

+a，-2）
則|MN₂|²-|MN₁|²=(

2

a

-a)2+42-(

2

a

+a)2=8．

點評：本題考查點的縱坐標(biāo)的求法，考查|MN₂|²-|MN₁|²的值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．