Question

6．在棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，D，E分別是線段BC，AA₁的中點．
（1）求證：DE∥平面A₁C₁B；
（2）求直線DE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中點M，連接DM，A₁M，可通過證明四邊形A₁EDM是平行四邊形得出DE∥A₁M，于是DE∥平面A₁C₁B；
（2）過D作DH⊥AB于H，則∠HED為DE與平面AA₁B₁B所成的角，利用勾股定理計算DE，DH，得出sin∠HED．

解答 證明：（I）取BC₁的中點M，連接DM，A₁M，
則DM∥CC₁，DM=$\frac{1}{2}$CC₁，
又E為AA₁的中點，∴A₁E∥CC₁，A₁E=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴A₁E∥DM，A₁E=DM，
∴四邊形A₁EDM是平行四邊形，
∴DE∥A₁M，又A₁M?平面A₁C₁B，DE?平面A₁C₁B，
∴DE∥平面A₁C₁B．
（II）過C作CN⊥AB，過D作DH⊥AB，
∵A₁A⊥平面ABC，DH?平面ABC，
∴A₁A⊥DH，又DH⊥AB，A₁A∩AB=A，
∴DH⊥平面AA₁B₁B，
∴∠HED為DE與平面AA₁B₁B所成的角，
∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴CN=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AE=$\frac{1}{2}$C₁C=1，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴sin∠HED=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線DE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，屬于中檔題．