Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x-1}$（a•b≠0）．
（1）當b=a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=2x-3，證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （1）求出b=a=1時，函數(shù)f（x）的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（2）求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程，可得a=1，b=-1，再設曲線上任取一點（x₀，x₀-$\frac{1}{{x}_{0}-1}$）．求得切線的方程，令x=1，y=x求得交點，運用三角形的面積公式，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（1）當b=a=1時，f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，
導數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{（x-2）x}{（x-1）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1或1＜x＜2．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；
減區(qū)間為（0，1），（1，2）；
（2）證明：函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x-1}$的導數(shù)為f′（x）=a-$\frac{（x-1）^{2}}$，
由曲線在點（2，f（2））處的切線方程是y=2x-3，
可得a-b=2，f（2）=2a+b=1，
解得a=1，b=-1，
即有f（x）=x-$\frac{1}{x-1}$，
在曲線上任取一點（x₀，x₀-$\frac{1}{{x}_{0}-1}$）．
由f′（x₀）=1+$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$，
過此點的切線方程為y-x₀+$\frac{1}{{x}_{0}-1}$=[1+$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$]（x-x₀），
令x=1得y=$\frac{{x}_{0}-3}{{x}_{0}-1}$，切線與直線x=1交點為（1，$\frac{{x}_{0}-3}{{x}_{0}-1}$），
令y=x得y=2x₀-1，切線與直線y=x交點為（2x₀-1，2x₀-1），
直線x=1與直線y=x的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為$\frac{1}{2}$|$\frac{{x}_{0}-3}{{x}_{0}-1}$-1|•|2x₀-1-1|=$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{{x}_{0}-1}$|•|2x₀-2|=2．
所以所圍三角形的面積為定值2．

點評 本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的單調區(qū)間，考查三角形的面積為定值的求法，考查化簡整理和運算求解能力．屬于中檔題．