Question

2．定義在R上的奇函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，都有2f（x）+xf′（x）＜$\frac{1}{x}$，則不等式x²f（x）-2f（$\sqrt{2}$）＜x-$\sqrt{2}$的解集為（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\sqrt{2}$）
• C． （-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （0，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 將不等式條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x）-x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，都有2f（x）+xf′（x）＜$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，都有2xf（x）+x²f′（x）＜1，
即2xf（x）+x²f′（x）-1＜0，
設(shè)g（x）=x²f（x）-x，則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-1，
則當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
則g（0）=0，
則g（x）=x²f（x）-x是奇函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
則不等式x²f（x）-2f（$\sqrt{2}$）＜x-$\sqrt{2}$等價(jià)為x²f（x）-x＜（$\sqrt{2}$）²f（$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$，
即g（x）＜g（$\sqrt{2}$），
∵函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
∴x＞$\sqrt{2}$，
即不等式的解集為（$\sqrt{2}$，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用研究研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．其中根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是個(gè)難點(diǎn)．