Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c是橢圓的焦距長的一半）交x軸于A點，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線交橢圓的第一象限于P點，交AB于D點，若點D滿足2$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$（O為坐標原點）．
（I）求橢圓的離心率；
（II）若半焦距為3，過點A的直線l交橢圓于兩點M、N，問在x軸上是否存在定點C使$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$為常數？若存在，求出C點的坐標及該常數值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意分別求得D、F和P點坐標，根據向量加法的坐標表示求得a和b的關系、由橢圓的性質a²=b²+c²及e=$\frac{c}{a}$即可求得e；
（II）由c=3，即可求得橢圓方程，并求得過點A的直線方程，代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，由△＞0求得k的取值范圍，利用韋達定理，表示出$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$，令$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=u，（整理68+4n²-32n-4u）k²+n²-u-12=0，對任意k∈（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）都成立，求得關于n和u的二元一次方程組，即可求得n的值，求得C點坐標．

解答 解：（I）由題意可知：A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），B（0，b），
直線AB的方程是：$\frac{cx}{{a}^{2}}+\frac{y}=1$，將x=c代入，得y=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴D（0，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$），將x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，得y=±$\frac{^{2}}{a}$（舍負），
∴P（0，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$），
∵2$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$，
∴2（0，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）=（c，0）+（0，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$），整理得：$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{a}$，即a=2b，
∵a²=b²+c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
橢圓的離心率$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（II）當c=3時，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，過A（4，0）的直線方程為y=k（x-4），
將直線方程代入橢圓方程消去y，整理得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴△=（-32k²）-4（1+4k²）（64k²-12）=-4（16k²-12）＞0，
解得：k²＜$\frac{3}{4}$，
假設存在點C（n，0），使得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$為常數，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（x₁-n，y₁）•（x₂-n，y₂），
=（x₁-n）•（x₂-n）+y₁•y₂，
=（x₁-n）•（x₂-n）+k²（x₁-4）（x₂-4），
=（1+k²）x₁•x₂-（n+4k²）（x₁+x₂）+n²+16k²，
=（1+k²）×$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-（n+4k²）×$\frac{64{k}^{2}-12}{1+4{k}^{2}}$+n²+16k²=u，
整理得：（68+4n²-32n-4u）k²+n²-u-12=0，對任意k²＜$\frac{3}{4}$都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{68+4{n}^{2}-32n-4u=0}\\{{n}^{2}-u-12=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{29}{8}}\\{u=\frac{73}{64}}\end{array}\right.$，
故在x軸上存在點（$\frac{29}{8}$，0）使為常數．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查一元二方程根與系數的關系，向量的坐標表示，考查分析問題、解決問題及計算能力，屬于難題．