Question

9．已知A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}=0$，若直線AB與直線kx+y+2k=0距離的最大值是4，則p的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n，代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，證明直線AB：x=my+2p過定點(diǎn)（2p，0）．利用直線AB與直線kx+y+2k=0距離的最大值是4，得出2p+2=4，即可求出p．

解答 解：OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n．
代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
∴直線AB：x=my+2p過定點(diǎn)（2p，0）．
∵直線AB與直線kx+y+2k=0距離的最大值是4，直線kx+y+2k=0過點(diǎn)（-2，0）
∴直線AB與直線kx+y+2k=0距離的最大值是兩定點(diǎn)間的距離，即2p+2=4，
∴p=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，比較基礎(chǔ)．