Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是邊長為1的正方形，PA=PD，且PA⊥CD．
（1）求證：平面PAD⊥底面ABCD；
（2）設(shè)PA=λ，當λ為何值時異面直線PA與BC所成的角為$\frac{π}{3}$？求并此時棱錐B-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定證明CD⊥平面PAD，利用平面與平面垂直的判定定理即可證明平面PAD⊥底面ABCD；
（2）由題意∠PAD=$\frac{π}{3}$，可得λ的值；取AD的中點O，連接PO，證明PO⊥底面ABCD，轉(zhuǎn)換底面，即可求出棱錐B-PCD的體積．

解答 （1）證明：因為CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD…（2分）
又CD?底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD…（4分）
（2）解：由題意∠PAD=$\frac{π}{3}$…（5分）
所以PA=λ=1…（6分）
取AD的中點O，連接PO，則PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，PO⊥AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥底面ABCD…（8分）
所以V_B-PCD=V_P-BCD=$\frac{\sqrt{3}}{12}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定、平面與平面垂直的判定定理，考查棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．