Question

3．設(shè)點(diǎn)M（x₁，f（x₁））和點(diǎn)N（x₂，g（x₂））分別是函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$和g（x）=x-1圖象上的點(diǎn)，且x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂，若不等式|x₁-x₂|≥|MN|≥k對(duì)任意x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂恒成立，則k的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{2-ln2}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{9-ln2}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得f（x₁）=g（x₂），由點(diǎn)M（x₁，f（x₁））和點(diǎn)N（x₂，g（x₂））分別是函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1圖象上的點(diǎn)，可得f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{2}-1$，令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-x（x≥0），求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得h（x）的最小值即為M、N兩點(diǎn)間的最短距離，則k的最大值可求．

解答 解：M（x₁，f（x₁））是函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$圖象上的點(diǎn)，N（x₂，g（x₂））是g（x）=x-1圖象上的點(diǎn)，
若|x₁-x₂|≥|MN|，則|x₁-x₂|≥$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$，即f（x₁）=g（x₂）．
∵點(diǎn)M（x₁，f（x₁））和點(diǎn)N（x₂，g（x₂））分別是函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1圖象上的點(diǎn)，
且x₁≥0，x₂＞0時(shí)，f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{2}-1$，
則M，N兩點(diǎn)間的距離為x₂-x₁=${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}+1-{x}_{1}$．
令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-x，x≥0，則h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h′（x）=e^x-x-1≥h′（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）的最小值為h（0）=1-0+1-0=2，
即M，N兩點(diǎn)間的距離的最小值為2，
由不等式|x₁-x₂|≥|MN|≥k對(duì)任意x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂恒成立，則k的最大值為2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．