Question

我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長(zhǎng)期只能在當(dāng)?shù)劁N(xiāo)售．當(dāng)?shù)卣�府�?duì)該特產(chǎn)的銷(xiāo)售投資收益為：每投入x萬(wàn)元，可獲得利潤(rùn)P=-

1

100

（x-60）2+41（萬(wàn)元）．當(dāng)?shù)卣�府�(dāng)M在“十二•五”規(guī)劃中加快開(kāi)發(fā)該特產(chǎn)的銷(xiāo)售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對(duì)該項(xiàng)目每年最多可投入100萬(wàn)元的銷(xiāo)售投資，在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬(wàn)元中撥出50萬(wàn)元用于修建一條公路，兩年修成，通車(chē)前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N(xiāo)售；公路通車(chē)后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷(xiāo)售，也在外地銷(xiāo)售．在外地銷(xiāo)售的投資收益為：每投入x萬(wàn)元，可獲利潤(rùn)Q=-

99

100

（100-x）2+

294

5

（100-x）+160（萬(wàn)元）．
（1）若不進(jìn)行開(kāi)發(fā)，求5年所獲利潤(rùn)的最大值是多少？
（2）若按規(guī)劃實(shí)施，求5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根據(jù)（1），（2），該方案是否具有實(shí)施價(jià)值？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，每年可獲得利潤(rùn)P=-

1

100

（x-60）²+41，從而求最大值；
（2）分前兩年與后三年分別計(jì)算，從而得到最大利潤(rùn)總和；
（3）比較所獲得的利潤(rùn)即可．

解答： 解：（1）若不進(jìn)行開(kāi)發(fā)，
每年可獲得利潤(rùn)P=-

1

100

（x-60）²+41，
故當(dāng)x=60時(shí)有最大值為41；
故5年所獲利潤(rùn)的最大值為41×5=205萬(wàn)元；
（2）若按規(guī)劃實(shí)施，前兩年的利潤(rùn)最大值為
P=2[-

1

100

（50-60）²+41]-100=-20；
后三年中，設(shè)投資本地為x萬(wàn)元，則設(shè)資外地為100-x萬(wàn)元；
故每年的利潤(rùn)為P+Q=-

1

100

（x-60）²+41-

99

100

x²+

294

5

x+160
=-x²+60x+165=-（x-30）²+1065；
故當(dāng)x=30時(shí)有最大值為1065萬(wàn)元；
故三年總利潤(rùn)為3×1065=3195萬(wàn)元；
故5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是3195-20=3175萬(wàn)元；
（3）由（1），（2）知，該方案具有實(shí)施價(jià)值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．