Question

5．已知函數f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）先求出函數f（x）的定義域，再求出函數f（x）的導數和駐點，然后列表討論，求函數f（x）的單調區(qū)間和極值．
（2）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：（1）∵函數f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；
∴f（x）的單調增區(qū)間（0，+∞），單調減區(qū)間（-1，0）
（2）f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
當x=1時，f′（1）=$\frac{1}{4}$得切線的斜率為$\frac{1}{4}$，所以k=$\frac{1}{4}$；
所以曲線在點（1，f（1））處的切線方程為：
y-ln2+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$×（x-1），即x-4y+4ln2-3=0，
故切線方程為 x-4y+4ln2-3=0．

點評 本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．