Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+xlnx．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的在（e，f（e）處的切線方程；
（Ⅱ）若a=-e，證明：方程2|f（x）|-3x=2lnx無解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1的f（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，運(yùn)用點斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）由題意可得原方程即為2|-ex²+xlnx|=3x+2lnx，由x＞0，即有|lnx-ex|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，設(shè)g（x）=lnx-ex，h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，分別求出g（x），h（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，可得f（x）=x²+xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+1+lnx，
函數(shù)f（x）在（e，f（e）處的切線斜率為k=f′（e）=2e+2，切點為（e，e²+e），
則函數(shù)f（x）在（e，f（e）處的切線方程為y-e²-e=（2e+2）（x-e），
即為（2e+2）x-y-e²-e=0；
（Ⅱ）證明：由題意可得方程2|f（x）|-3x=2lnx，即為2|-ex²+xlnx|=3x+2lnx，
由x＞0，即有|lnx-ex|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，
設(shè)g（x）=lnx-ex，g′（x）=$\frac{1}{x}$-e=$\frac{1-ex}{x}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時，g′（x）＜0，即有g(shù)（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時，g′（x）＞0，即有g(shù)（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞增．
可得g（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極大值，且為最大值g（$\frac{1}{e}$）=ln$\frac{1}{e}$-e•$\frac{1}{e}$=-2．
即有|g（x）|≥2；
設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時，h′（x）＜0，即有h（x）在（e，+∞）遞減；
當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0，即有h（x）在（0，e）遞增．
可得h（x）在x=e處取得極大值，且為最大值h（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$．
由2＞$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$，可得|g（x）|＞h（x）恒成立，
即2|f（x）|＞3x+2lnx，故方程2|f（x）|-3x=2lnx無解．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意構(gòu)造函數(shù)，求得最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．